Momenten in wiskundige statistiek omvatten een basisberekening. Deze berekeningen kunnen worden gebruikt om het gemiddelde, de variantie en de scheefheid van een kansverdeling te vinden.
Stel dat we een set gegevens hebben met in totaal ndiscreet punten. Een belangrijke berekening, die eigenlijk meerdere getallen is, wordt de genoemd se moment. De shet moment van de dataset met waarden X1, X2, X3,..., Xn wordt gegeven door de formule:
(X1s + X2s + X3s +... + Xns)/n
Het gebruik van deze formule vereist dat we voorzichtig zijn met onze volgorde van operaties. We moeten eerst de exponenten doen, optellen en vervolgens delen door n het totale aantal gegevenswaarden.
Een opmerking over de term 'Moment'
De voorwaarde moment is ontleend aan de natuurkunde. In de natuurkunde wordt het moment van een systeem van puntmassa's berekend met een formule die identiek is aan die hierboven, en deze formule wordt gebruikt bij het vinden van het massamiddelpunt van de punten. In statistieken zijn de waarden niet langer massa's, maar zoals we zullen zien, meten momenten in statistieken nog steeds iets ten opzichte van het middelpunt van de waarden.
Eerste moment
Voor het eerste moment gaan we zitten s = 1. De formule voor het eerste moment is dus:
(X1X2 + X3 +... + Xn)/n
Dit is identiek aan de formule voor het monster gemeen.
Het eerste moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Tweede moment
Voor het tweede moment gaan we zitten s = 2. De formule voor het tweede moment is:
(X12 + X22 + X32 +... + Xn2)/n
Het tweede moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Derde moment
Voor het derde moment gaan we zitten s = 3. De formule voor het derde moment is:
(X13 + X23 + X33 +... + Xn3)/n
Het derde moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Hogere momenten kunnen op dezelfde manier worden berekend. Vervang gewoon s in de bovenstaande formule met het nummer dat het gewenste moment aangeeft.
Momenten over het gemiddelde
Een verwant idee is dat van de shet moment over het gemiddelde. Bij deze berekening voeren we de volgende stappen uit:
- Bereken eerst het gemiddelde van de waarden.
- Trek vervolgens dit gemiddelde af van elke waarde.
- Breng vervolgens elk van deze verschillen naar voren sde kracht.
- Voeg nu de nummers uit stap # 3 samen toe.
- Deel tot slot deze som door het aantal waarden waarmee we zijn begonnen.
De formule voor de shet moment over het gemiddelde m van de waarden waarden X1, X2, X3,..., Xn is gegeven door:
ms = ((X1 - m)s + (X2 - m)s + (X3 - m)s +... + (Xn - m)s)/n
Eerste moment over het gemiddelde
Het eerste moment over het gemiddelde is altijd gelijk aan nul, ongeacht de dataset waarmee we werken. Dit is te zien in het volgende:
m1 = ((X1 - m) + (X2 - m) + (X3 - m) +... + (Xn - m))/n = ((X1+ X2 + X3 +... + Xn) - nm)/n = m - m = 0.
Tweede moment over het gemiddelde
Het tweede moment over het gemiddelde wordt verkregen uit de bovenstaande formule door in te stellens = 2:
m2 = ((X1 - m)2 + (X2 - m)2 + (X3 - m)2 +... + (Xn - m)2)/n
Deze formule is gelijk aan die voor de steekproefvariantie.
Overweeg bijvoorbeeld de set 1, 3, 6, 10. We hebben het gemiddelde van deze set al berekend op 5. Trek dit af van elk van de gegevenswaarden om verschillen te verkrijgen tussen:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
We kwadrateren elk van deze waarden en voegen ze bij elkaar: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Verdeel tot slot dit aantal door het aantal gegevenspunten: 46/4 = 11,5
Toepassingen van momenten
Zoals hierboven vermeld, is het eerste moment het gemiddelde en het tweede moment over het gemiddelde de steekproef variantie. Karl Pearson introduceerde het gebruik van het derde moment over het gemiddelde bij het berekenen scheefheid en het vierde moment over het gemiddelde in de berekening van kurtosis.