De waarschijnlijkheid van het rollen van een Yahtzee

Yahtzee is een dobbelspel met een combinatie van toeval en strategie. Een speler begint zijn beurt met vijf dobbelstenen. Na deze worp kan de speler beslissen om een ​​willekeurig aantal dobbelstenen opnieuw te gooien. Er zijn maximaal drie rollen voor elke beurt. Na deze drie rollen wordt het resultaat van de dobbelstenen op een scoreblad ingevoerd. Dit scoreblad bevat verschillende categorieën, zoals een volledig huis of groot recht. Elk van de categorieën is tevreden met verschillende combinaties van dobbelstenen.

De moeilijkst in te vullen categorie is die van een Yahtzee. Een Yahtzee doet zich voor wanneer een speler vijf van hetzelfde nummer gooit. Hoe onwaarschijnlijk is een Yahtzee? Dit is een probleem dat veel gecompliceerder is dan het vinden van kansen voor twee of zelfs drie dobbelstenen. De belangrijkste reden is dat er veel manieren zijn om vijf dezelfde dobbelstenen te krijgen tijdens drie rollen.

We kunnen de kans op het rollen van een Yahtzee berekenen door de combinatorische formule voor combinaties te gebruiken en het probleem in verschillende

Het gemakkelijkste te overwegen geval is het verkrijgen van een Yahtzee onmiddellijk bij de eerste worp. We zullen eerst kijken naar de waarschijnlijkheid van het rollen van een bepaalde Yahtzee van vijf tweeën, en dit dan gemakkelijk uitbreiden tot de waarschijnlijkheid van elke Yahtzee.

De kans om een ​​twee te gooien is 1/6, en de uitkomst van elke dobbelsteen is onafhankelijk van de rest. Dus de kans om vijf tweeën te rollen is (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. De kans om vijf van een ander nummer te gooien is ook 1/7776. Aangezien er in totaal zes verschillende getallen op een dobbelsteen zijn, vermenigvuldigen we de bovenstaande waarschijnlijkheid met 6.

Dit betekent dat de kans op een Yahtzee op de eerste worp 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 procent is.

Als we iets anders gooien dan vijf van een soort van de eerste worp, zullen we sommige van onze dobbelstenen opnieuw moeten gooien om te proberen een Yahtzee te krijgen. Stel dat onze eerste worp four of a kind heeft. we zouden de dobbelsteen die niet overeenkomt opnieuw gooien en dan een Yahtzee krijgen op deze tweede worp.

De kans om op deze manier in totaal vijf tweeën te rollen is als volgt:

1. Op de eerste worp hebben we vier tweeën. Aangezien er een kans is dat 1/6 een twee gooit en 5/6 een twee niet gooit, vermenigvuldigen we (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Een van de vijf dobbelstenen gegooid zou de niet-twee kunnen zijn. We gebruiken onze combinatieformule voor C (5, 1) = 5 om te tellen hoeveel manieren we vier tweeën kunnen rollen en iets dat geen twee is.
3. We vermenigvuldigen en zien dat de kans op precies vier twee rollen op de eerste worp 25/7776 is.
4. Op de tweede worp moeten we de waarschijnlijkheid berekenen om één twee te gooien. Dit is 1/6. Dus de kans om een ​​Yahtzee van tweeën op de bovenstaande manier te rollen is (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Om de waarschijnlijkheid van het op deze manier rollen van elke Yahtzee te vinden, wordt gevonden door de bovenstaande waarschijnlijkheid met 6 te vermenigvuldigen omdat er zes verschillende getallen op een dobbelsteen zijn. Dit geeft een kans van 6 x 25/46656 = 0,32 procent.

Maar dit is niet de enige manier om een ​​Yahtzee met twee rollen te rollen. Alle volgende kansen worden op vrijwel dezelfde manier gevonden als hierboven:

• We kunnen drie dezelfde kaarten werpen en vervolgens twee dobbelstenen die overeenkomen met onze tweede worp. De waarschijnlijkheid hiervan is 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 procent.
• We kunnen een bijpassend paar werpen, en bij onze tweede worp drie dobbelstenen die overeenkomen. De waarschijnlijkheid hiervan is 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 procent.
• We kunnen vijf verschillende dobbelstenen werpen, één dobbelsteen van onze eerste worp opslaan en vervolgens vier dobbelstenen gooien die overeenkomen met de tweede worp. De kans hierop is (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 procent.

Bovenstaande gevallen sluiten elkaar uit. Dit betekent dat om de waarschijnlijkheid van het rollen van een Yahtzee in twee rollen te berekenen, we de bovenstaande kansen bij elkaar optellen en we hebben ongeveer 1,23 procent.

Voor de meest gecompliceerde situatie tot nu toe zullen we nu het geval onderzoeken waarin we al onze drie rollen gebruiken om een ​​Yahtzee te verkrijgen. We zouden dit op verschillende manieren kunnen doen en moeten ze allemaal verklaren.

De kansen op deze mogelijkheden worden hieronder berekend:

• De kans om vier dezelfde te gooien, dan niets, en dan de laatste dobbelsteen op de laatste worp te matchen, is 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 procent.
• De kans dat je three of a kind gooit, dan niets, en dan overeenkomt met het juiste paar op de laatste roll is 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 procent.
• De kans dat je een bijpassend paar gooit, dan niets, en dan overeenkomt met de juiste three of a kind op de derde rol is 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 procent.
• De kans op het werpen van een enkele dobbelsteen, dan niets dat hieraan overeenkomt, en dan overeenkomen met de juiste vier van een soort op de derde worp is (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 procent.
• De kans om drie dezelfde te gooien, een extra dobbelsteen te matchen op de volgende worp, gevolgd door het matchen van de vijfde dobbelsteen op de derde worp is 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 procent.
• De kans om een ​​paar te rollen, een extra paar te matchen bij de volgende worp, gevolgd door matchen de vijfde dobbelsteen op de derde worp is 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 procent.
• De kans dat je een paar gooit, een extra dobbelsteen bij de volgende worp, gevolgd door het matchen van de laatste twee dobbelstenen op de derde worp zijn 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 procent.
• De kans dat je een soort gooit, een andere dobbelsteen om het op de tweede worp te matchen, en dan een three of a kind op de derde worp is (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 procent.
• De waarschijnlijkheid van het rollen van een van een soort, een three of a kind om te matchen op de tweede worp, gevolgd door een match op de derde worp is (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 procent.
• De waarschijnlijkheid van het rollen van een soort, een paar dat overeenkomt met de tweede rol en vervolgens een ander paar dat overeenkomt met de derde rol is (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 procent.

We voegen alle bovenstaande kansen samen om de kans te bepalen dat een Yahtzee in drie dobbelstenen wordt gegooid. Deze kans is 3,43 procent.

De kans op een Yahtzee in één rol is 0,08 procent, de kans op een Yahtzee in twee rollen is 1,23 procent en de kans op een Yahtzee in drie rollen is 3,43 procent. Omdat elk van deze elkaar uitsluiten, voegen we de waarschijnlijkheden samen. Dit betekent dat de kans op het verkrijgen van een Yahtzee in een bepaalde beurt ongeveer 4,74 procent is. Om dit in perspectief te plaatsen, aangezien 1/21 ongeveer 4,74 procent is, zou een speler alleen bij toeval elke 21 beurten een Yahtzee mogen verwachten. In de praktijk kan het langer duren omdat een eerste paar kan worden weggegooid om naar iets anders te rollen, zoals een Rechtdoor.