De kans om een ​​full house te rollen in Yahtzee?

Bij het spel Yahtzee worden vijf standaarddobbelstenen gebruikt. Bij elke beurt krijgen spelers drie rollen. Na elke worp mag een willekeurig aantal dobbelstenen worden bewaard met als doel bepaalde combinaties van deze dobbelstenen te verkrijgen. Elke combinatie is een ander aantal punten waard.

Een van dit soort combinaties wordt een full house genoemd. Net als een full house in het pokerspel, bevat deze combinatie drie van een bepaald nummer samen met een paar van een ander nummer. Aangezien Yahtzee het willekeurig gooien van dobbelstenen omvat, kan dit spel worden geanalyseerd door de waarschijnlijkheid te gebruiken om te bepalen hoe waarschijnlijk het is dat een full house in een enkele worp wordt gegooid.

We beginnen met onze veronderstellingen te vermelden. We gaan ervan uit dat de gebruikte dobbelstenen eerlijk en onafhankelijk van elkaar zijn. Dit betekent dat we een uniforme monsterruimte hebben die bestaat uit alle mogelijke rollen van de vijf dobbelstenen. Hoewel het spel van Yahtzee drie rollen toestaat, zullen we er alleen rekening mee houden dat we in één rol een full house krijgen.

Aangezien we werken met een uniformvoorbeeldruimtewordt de berekening van onze waarschijnlijkheid een berekening van een aantal telproblemen. De kans op een full house is het aantal manieren om een ​​full house te rollen, gedeeld door het aantal uitkomsten in de steekproefruimte.

Het aantal resultaten in de steekproefruimte is eenvoudig. Aangezien er vijf dobbelstenen zijn en elk van deze dobbelstenen een van de zes verschillende uitkomsten kan hebben, is het aantal uitkomsten in de steekproefruimte 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Vervolgens berekenen we het aantal manieren om een ​​full house te rollen. Dit is een moeilijker probleem. Om een ​​full house te hebben, hebben we drie dobbelstenen nodig, gevolgd door een paar dobbelstenen van een ander type. We zullen dit probleem in twee delen splitsen:

• Wat is het aantal verschillende soorten volle huizen dat kan worden gerold?
• Op hoeveel manieren kan een bepaald type full house worden gerold?

Zodra we het nummer van elk van deze kennen, kunnen we ze samen vermenigvuldigen om ons het totale aantal volledige huizen te geven dat kan worden gerold.

We beginnen met te kijken naar het aantal verschillende soorten volhuizen dat kan worden gerold. Elk van de nummers 1, 2, 3, 4, 5 of 6 kan worden gebruikt voor de three of a kind. Er zijn nog vijf nummers voor het paar. Er zijn dus 6 x 5 = 30 verschillende soorten full house combinaties die gerold kunnen worden.

We zouden bijvoorbeeld 5, 5, 5, 2, 2 kunnen hebben als één type full house. Een ander type full house is 4, 4, 4, 1, 1. Een andere zou toch 1, 1, 4, 4, 4 zijn, wat anders is dan de voorgaande full house omdat de rollen van de vieren en degenen zijn verwisseld.

Nu bepalen we het verschillende aantal manieren om een ​​bepaalde full house te rollen. Elk van de volgende geeft ons bijvoorbeeld hetzelfde volledige huis van drie vieren en twee:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

We zien dat er minstens vijf manieren zijn om een ​​bepaald full house te rollen. Zijn er nog andere? Zelfs als we andere mogelijkheden blijven opsommen, hoe weten we dan dat we ze allemaal hebben gevonden?

De sleutel tot het beantwoorden van deze vragen is om te beseffen dat we te maken hebben met een telprobleem en om te bepalen met welk type telprobleem we werken. Er zijn vijf posities en drie daarvan moeten worden gevuld met een vier. De volgorde waarin we onze vieren plaatsen, maakt niet uit, zolang de exacte posities zijn ingevuld. Zodra de positie van de vieren is bepaald, wordt de plaatsing automatisch uitgevoerd. Om deze redenen moeten we rekening houden met de combinatie van vijf posities drie tegelijk ingenomen.

We gebruiken de combinatieformule om te verkrijgen C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Dit betekent dat er 10 verschillende manieren zijn om een ​​bepaald full house te rollen.

Alles bij elkaar opgeteld, hebben we ons aantal volle zalen. Er zijn 10 x 30 = 300 manieren om in één rol een full house te krijgen.

Nu de kans op een full house is een eenvoudige delingberekening. Omdat er 300 manieren zijn om een ​​full house in een enkele worp te gooien en er zijn 7776 rollen van vijf dobbelstenen mogelijk, is de kans op het werpen van een full house 300/7776, dat is bijna 1/26 en 3,85%. Dit is 50 keer meer waarschijnlijk dan een Yahtzee in een enkele worp te rollen.

Het is natuurlijk zeer waarschijnlijk dat de eerste worp geen full house is. Als dit het geval is, mogen we nog twee worpen maken, waardoor een full house veel waarschijnlijker wordt. De waarschijnlijkheid hiervan is veel gecompliceerder om te bepalen vanwege alle mogelijke situaties die in overweging moeten worden genomen.