De variantie van een verdeling van een willekeurige variabele is een belangrijk kenmerk. Dit nummer geeft de spreiding van een verdeling aan en wordt gevonden door het kwadraat van de standaardafwijking. Een veel gebruikte discreet distributie is dat van de Poisson-verdeling. We zullen zien hoe we de variantie van de Poisson-verdeling kunnen berekenen met parameter λ.
De Poisson-verdeling
Poisson-distributies worden gebruikt wanneer we een soort continuüm hebben en discrete veranderingen binnen dit continuüm tellen. Dit gebeurt wanneer we rekening houden met het aantal mensen dat binnen een uur bij een bioscoopkaartje aankomt het aantal auto's dat door een kruising met een vierrichtingsstop rijdt of het aantal fouten in een lengte van draad.
Als we in deze scenario's enkele verhelderende veronderstellingen maken, dan komen deze situaties overeen met de voorwaarden voor een Poisson-proces. We zeggen dan dat de willekeurige variabele, die het aantal veranderingen telt, een Poisson-verdeling heeft.
De Poisson-distributie verwijst eigenlijk naar een oneindige familie van distributies. Deze verdelingen zijn uitgerust met een enkele parameter λ. De parameter is positief echt nummer dat hangt nauw samen met het verwachte aantal waargenomen veranderingen in het continuüm. Verder zullen we zien dat deze parameter niet alleen gelijk is aan de gemeen van de verdeling maar ook de variantie van de verdeling.
De kansmassafunctie voor een Poisson-verdeling wordt gegeven door:
f(X) = (λXe-λ)/X!
In deze uitdrukking, de brief e is een nummer en is de wiskundige constante met een waarde ongeveer gelijk aan 2.718281828. De variabele X kan elk niet-negatief geheel getal zijn.
De variantie berekenen
Om het gemiddelde van een Poisson-verdeling te berekenen, gebruiken we deze verdeling moment genererende functie. We zien dat:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( X) = ΣetX λXe-λ)/X!
We herinneren ons nu de Maclaurin-serie voor eu. Omdat elke afgeleide van de functie eu is eu, al deze derivaten geëvalueerd op nul geven ons 1. Het resultaat is de serie eu = Σ un/n!.
Door gebruik van de Maclaurin-serie voor eu, kunnen we de moment-genererende functie niet als een reeks, maar in een gesloten vorm uitdrukken. We combineren alle voorwaarden met de exponent van X. Dus M(t) = eλ(et - 1).
We vinden nu de variantie door de tweede afgeleide van te nemen M en dit op nul evalueren. Sinds M’(t) =λetM(t), gebruiken we de productregel om de tweede afgeleide te berekenen:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
We evalueren dit op nul en vinden dat M’’(0) = λ2 + λ. We gebruiken dan het feit dat M’(0) = λ om de variantie te berekenen.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Dit laat zien dat de parameter λ niet alleen het gemiddelde van de Poisson-verdeling is, maar ook de variantie.