Waarschijnlijkheden en leugenaarsdobbelstenen

Veel kansspelen kunnen worden geanalyseerd met behulp van de wiskunde van waarschijnlijkheid. In dit artikel zullen we verschillende aspecten van het spel, genaamd Liar’s Dice, onderzoeken. Na het beschrijven van dit spel, zullen we de bijbehorende kansen berekenen.

De game van Liar's Dice is eigenlijk een familie van games met bluffen en misleiding. Er zijn een aantal varianten van deze game, en deze heeft verschillende namen, zoals Pirate's Dice, Deception en Dudo. Een versie van deze game was te zien in de film Pirates of the Caribbean: Dead Man’s Chest.

In de versie van het spel die we zullen onderzoeken, heeft elke speler een beker en een set van hetzelfde aantal dobbelstenen. De dobbelstenen zijn standaard, zeszijdige dobbelstenen die genummerd zijn van één tot zes. Iedereen gooit zijn dobbelstenen en houdt ze onder de beker. Op het juiste moment kijkt een speler naar zijn set dobbelstenen en houdt deze verborgen voor alle anderen. Het spel is zo ontworpen dat elke speler perfecte kennis heeft van zijn eigen dobbelstenen, maar geen kennis heeft van de andere dobbelstenen die zijn gegooid.

Nadat iedereen de kans heeft gehad om naar hun dobbelstenen te kijken die werden gegooid, begint het bieden. Bij elke beurt heeft een speler twee keuzes: maak een hoger bod of noem het vorige bod een leugen. Biedingen kunnen hoger worden gemaakt door een hogere dobbelstenenwaarde van één tot zes te bieden, of door een groter aantal dezelfde dobbelstenenwaarde te bieden.

Een bod van 'Drie tweeën' kan bijvoorbeeld worden verhoogd door 'Vier tweeën' te vermelden. Het kan ook worden verhoogd door te zeggen "Drie drieën." Over het algemeen kunnen noch het aantal dobbelstenen noch de waarden van de dobbelstenen afnemen.

Aangezien de meeste dobbelstenen aan het zicht zijn onttrokken, is het belangrijk om te weten hoe sommige kansen te berekenen. Door dit te weten, is het gemakkelijker om te zien welke biedingen waarschijnlijk waar zijn en welke leugens waarschijnlijk zijn.

De eerste overweging is om te vragen: "Hoeveel dobbelstenen van dezelfde soort zouden we verwachten?" Als we bijvoorbeeld vijf dobbelstenen gooien, hoeveel van deze zouden we dan een twee verwachten? Het antwoord op deze vraag maakt gebruik van het idee van verwachte waarde.

De verwachte waarde van een willekeurige variabele is de waarschijnlijkheid van een bepaalde waarde, vermenigvuldigd met deze waarde.

De kans dat de eerste dobbelsteen een twee is, is 1/6. Omdat de dobbelstenen onafhankelijk van elkaar zijn, is de kans dat elk van hen een twee is 1/6. Dit betekent dat het verwachte aantal gerolde tweeën 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6 is.

Natuurlijk is er niets speciaals aan het resultaat van twee. Er is ook niets speciaals aan het aantal dobbelstenen dat we hebben overwogen. Als we gingen n dobbelstenen, dan is het verwachte aantal van een van de zes mogelijke uitkomsten n/6. Dit nummer is goed om te weten, omdat het ons een basislijn geeft om te gebruiken bij het ondervragen van biedingen van anderen.

Als we bijvoorbeeld de dobbelstenen van de leugenaar met zes dobbelstenen spelen, is de verwachte waarde van een van de waarden 1 tot en met 6 6/6 = 1. Dit betekent dat we sceptisch moeten zijn als iemand meer dan één waarde biedt. Op de lange termijn zouden we een gemiddelde nemen van elk van de mogelijke waarden.

Stel dat we vijf dobbelstenen gooien en dat we de kans willen vinden om twee drie te gooien. De kans dat een dobbelsteen een drie is, is 1/6. De kans dat een dobbelsteen niet drie is, is 5/6. Rollen van deze dobbelstenen zijn onafhankelijke gebeurtenissen, en dus vermenigvuldigen we de kansen met behulp van de vermenigvuldigingsregel.

De kans dat de eerste twee dobbelstenen drieën zijn en de andere dobbelstenen geen drieën wordt gegeven door het volgende product:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

De eerste twee dobbelstenen zijn drieën is slechts één mogelijkheid. De dobbelstenen die drieën zijn, kunnen twee van de vijf dobbelstenen zijn die we gooien. We duiden een dobbelsteen aan die geen drie bij een * is. De volgende zijn mogelijke manieren om twee drieën uit vijf rollen te hebben:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

We zien dat er tien manieren zijn om precies twee drieën uit vijf dobbelstenen te gooien.

We vermenigvuldigen nu onze waarschijnlijkheid hierboven met de 10 manieren waarop we deze dobbelsteenconfiguratie kunnen hebben. Het resultaat is 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Dit is ongeveer 16%.

We generaliseren nu het bovenstaande voorbeeld. We houden rekening met de kans op rollen n dobbelstenen en het verkrijgen van precies k die een bepaalde waarde hebben.

Net als voorheen, is de kans dat we het nummer rollen dat we willen 1/6. De kans om dit nummer niet te rollen wordt gegeven door de complement regel als 5/6. Wij willen k van onze dobbelstenen om het geselecteerde nummer te zijn. Dit betekent dat n - k zijn een ander nummer dan we willen. De waarschijnlijkheid van de eerste k dobbelstenen zijn een bepaald aantal met de andere dobbelstenen, niet dit aantal is:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Het zou vervelend zijn, om nog maar te zwijgen van tijdrovend, om alle mogelijke manieren op te sommen om een ​​bepaalde configuratie van dobbelstenen te gooien. Daarom is het beter om onze telprincipes te gebruiken. Door deze strategieën zien we dat we tellen combinaties.

Er zijn C (n, k) manieren om te rollen k van een bepaald soort dobbelstenen uit n Dobbelsteen. Dit nummer wordt gegeven door de formule n!/(k!(n - k)!)

Alles bij elkaar genomen zien we dat wanneer we rollen n dobbelstenen, de kans dat precies k van hen zijn een bepaald nummer wordt gegeven door de formule:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Er is een andere manier om dit soort problemen te overwegen. Dit omvat de binomiale verdeling met kans op succes gegeven door p = 1/6. De formule voor precies k van deze dobbelstenen is een bepaald aantal bekend als de waarschijnlijkheidsmassafunctie voor de binomiaal distributie.

Een andere situatie waar we rekening mee moeten houden, is de kans om ten minste een bepaald aantal van een bepaalde waarde te rollen. Als we bijvoorbeeld vijf dobbelstenen gooien, wat is dan de waarschijnlijkheid dat we minstens drie dobbelstenen werpen? We kunnen drie, vier of vijf rollen. Om de kans te bepalen die we willen vinden, tellen we drie kansen op.

Hieronder hebben we een tabel met kansen om precies te verkrijgen k van een bepaalde waarde als we vijf dobbelstenen gooien.

Vervolgens beschouwen we de volgende tabel. Het geeft de kans om ten minste een bepaald aantal waarden te gooien als we in totaal vijf dobbelstenen gooien. We zien dat, hoewel het zeer waarschijnlijk is om minstens één 2 te rollen, het niet zo waarschijnlijk is om minstens vier 2's te rollen.