De geschiedenis van de algebra

Verschillende afleidingen van het woord 'algebra', dat van Arabische oorsprong is, zijn door verschillende schrijvers gegeven. De eerste vermelding van het woord is te vinden in de titel van een werk van Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), die floreerde rond het begin van de 9e eeuw. De volledige titel is ilm al-jebr wa'l-muqabala, die de ideeën van teruggave en vergelijking, of oppositie en vergelijking, of resolutie en vergelijking bevat, jebr afgeleid zijn van het werkwoord jabara, herenigen, en muqabala, van Gabala, gelijk maken. (De wortel Jabara wordt ook in het woord ontmoet algebrista, wat een 'bottenzetter' betekent en nog steeds algemeen wordt gebruikt in Spanje.) Dezelfde afleiding wordt gegeven door Lucas Paciolus (Luca Pacioli), die de zin in de getranscribeerde vorm reproduceert alghebra e almucabala, en schrijft de uitvinding van de kunst toe aan de Arabieren.

Andere schrijvers hebben het woord afgeleid van het Arabische deeltje al (het lidwoord), en gerber, wat "man" betekent. Omdat Geber echter toevallig de naam was van een gevierde Moorse filosoof die floreerde rond de 11e of 12e eeuw, wordt verondersteld dat hij de stichter was van de algebra, die sindsdien zijn naam. Het bewijs van Peter Ramus (1515-1572) op dit punt is interessant, maar hij geeft geen autoriteit voor zijn enkelvoudige uitspraken. In het voorwoord van hem

instagram viewer

Arithmeticae libri duo et totidem Algebrae (1560) hij zegt: "De naam Algebra is Syrisch en betekent de kunst of de leer van een uitstekende man. Want Geber, in Syrisch, is een naam die op mannen wordt toegepast, en is soms een eretermijn, als meester of dokter onder ons. Er was een zekere geleerde wiskundige die zijn algebra, geschreven in de Syrische taal, naar Alexander de Grote stuurde, en hij noemde het almucabala, dat wil zeggen het boek van duistere of mysterieuze dingen, die anderen liever de leer van de algebra noemen. Tot op de dag van vandaag wordt hetzelfde boek in grote waardering onder de geleerden in de oosterse landen, en door de Indianen, die deze kunst cultiveren, wordt het genoemd Aljabra en alboret; hoewel de naam van de auteur zelf niet bekend is. "De onzekere autoriteit van deze verklaringen, en de plausibiliteit van de voorgaande verklaring hebben ertoe geleid dat filologen de afleiding hebben aanvaard van al en Jabara. Robert Recorde in de zijne Wetsteen van Witte (1557) gebruikt de variant algeber, terwijl John Dee (1527-1608) dat bevestigt algiebar, en niet algebra, is de juiste vorm en doet een beroep op de autoriteit van de Arabische Avicenna.

Hoewel de term "algebra" nu in universeel gebruik is, werden verschillende andere benamingen gebruikt door de Italiaanse wiskundigen tijdens de Renaissance. We zien dus dat Paciolus het noemt l'Arte Magiore; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa over Alghebra e Almucabala. De naam l'arte magiore, de grotere kunst, is ontworpen om het te onderscheiden van l'arte minore, de mindere kunst, een term die hij toepaste op het moderne rekenen. Zijn tweede variant, la regula de la cosa, de regel van het ding of de onbekende hoeveelheid, lijkt algemeen in Italië te zijn gebruikt, en het woord cosa werd gedurende verschillende eeuwen bewaard in de vormen coss of algebra, cossic of algebraic, cossist of algebraist, & c. Andere Italiaanse schrijvers noemden het de Regula rei et census, de regel van het ding en het product, of de wortel en het vierkant. Het principe dat aan deze uitdrukking ten grondslag ligt, is waarschijnlijk te vinden in het feit dat het de grenzen van hun prestaties in algebra, want ze waren niet in staat vergelijkingen van een hogere graad op te lossen dan het kwadratische of plein.

Franciscus Vieta (Francois Viete) noemde het Specious Arithmetic, vanwege de soort van de betrokken hoeveelheden, die hij symbolisch vertegenwoordigd door de verschillende letters van het alfabet. Sir Isaac Newton introduceerde de term Universeel rekenen, omdat het gaat om de doctrine van operaties, niet beïnvloed door cijfers, maar over algemene symbolen.

Ondanks deze en andere idiosyncratische benamingen hebben Europese wiskundigen zich aan de oudere naam gehecht, waardoor het onderwerp nu universeel bekend is.

Vervolg op pagina twee.

Dit document maakt deel uit van een artikel over Algebra uit de editie van een encyclopedie uit 1911, dat hier geen auteursrecht heeft. in de Verenigde Staten Het artikel bevindt zich in het publieke domein en u mag dit werk kopiëren, downloaden, afdrukken en verspreiden zoals u ziet passen.

Er is alles aan gedaan om deze tekst accuraat en netjes weer te geven, maar er worden geen garanties gegeven tegen fouten. Noch Melissa Snell noch About kan aansprakelijk worden gesteld voor problemen die u ervaart met de tekstversie of met een elektronisch formulier van dit document.

Het is moeilijk om de uitvinding van welke kunst of wetenschap dan ook definitief toe te wijzen aan een bepaalde leeftijd of ras. De weinige fragmentarische gegevens, die ons van vroegere beschavingen zijn overgeleverd, mogen niet worden beschouwd als representaties van de totaliteit van hun kennis, en het weglaten van een wetenschap of kunst betekent niet noodzakelijk dat de wetenschap of kunst dat was onbekend. Vroeger was het de gewoonte om de uitvinding van de algebra toe te wijzen aan de Grieken, maar sinds de ontcijfering van de Rhind papyrus door Eisenlohr deze visie is veranderd, want in dit werk zijn er duidelijke tekenen van een algebraïsche analyse. De specifieke problememaheap (hau) en zijn zevende maakt 19 is opgelost omdat we nu een eenvoudige vergelijking moeten oplossen; maar Ahmes varieert zijn methoden in andere soortgelijke problemen. Deze ontdekking draagt de uitvinding van algebra terug tot ongeveer 1700 v.Chr., Zo niet eerder.

Het is waarschijnlijk dat de algebra van de Egyptenaren van zeer rudimentaire aard was, want anders zouden we verwachten sporen ervan te vinden in de werken van de Griekse aeometers. van wie Thales van Miletus (640-546 v.Chr.) de eerste was. Ondanks de veelheid van schrijvers en het aantal geschriften, proberen alle pogingen om een algebraïsche analyse uit hun geometrische stellingen en problemen zijn vruchteloos geweest, en algemeen wordt toegegeven dat hun analyse geometrisch was en weinig of geen affiniteit had met algebra. Het eerste nog bestaande werk dat een verhandeling over algebra benadert, is van Diophantus (q.v.), een Alexandrijnse wiskundige, die rond 350 na Christus bloeide. Het origineel, dat bestond uit een voorwoord en dertien boeken, is nu verloren gegaan, maar we hebben een Latijnse vertaling van de eerste zes boeken en een fragment van een ander over veelhoekige getallen door Xylander van Augsburg (1575), en Latijnse en Griekse vertalingen door Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Er zijn andere edities verschenen, waarvan we kunnen vermelden Pierre Fermat's (1670), T. L. Heath's (1885) en P. Looierij (1893-1895). In het voorwoord van dit werk, dat is opgedragen aan één Dionysius, legt Diophantus zijn notatie, naamgeving, uit. het vierkant, de kubus en de vierde machten, dynamis, cubus, dynamodinimus, enzovoort, volgens de som in de indices. Het onbekende noemt hij arithmos, het aantal, en in oplossingen markeert hij het door de laatste s; hij legt de generatie van bevoegdheden uit, de regels voor vermenigvuldiging en deling van eenvoudige grootheden, maar hij behandelt de optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling van samenstellingen niet hoeveelheden. Vervolgens bespreekt hij verschillende kunstgrepen voor het vereenvoudigen van vergelijkingen, waarbij hij methoden geeft die nog steeds algemeen worden gebruikt. In de kern van het werk toont hij een aanzienlijke vindingrijkheid om zijn problemen terug te brengen tot eenvoudige vergelijkingen, die ofwel een directe oplossing toelaten, ofwel in een klasse vallen die bekend staat als onbepaalde vergelijkingen. Deze laatste klasse besprak hij zo ijverig dat ze vaak bekend staan als diophantische problemen, en de methoden om ze op te lossen als de diophantijnse analyse (zie VERGELIJKING, Onbepaald.) Het is moeilijk te geloven dat dit werk van Diophantus spontaan is ontstaan in een periode van algemene stagnatie. Het is meer dan waarschijnlijk dat hij dank verschuldigd was aan eerdere schrijvers, die hij niet vermeldt, en wiens werken nu verloren zijn gegaan; niettemin, maar voor dit werk moeten we ertoe worden gebracht aan te nemen dat algebra de Grieken bijna, zo niet helemaal onbekend was.

De Romeinen, die de Grieken opvolgden als de belangrijkste beschaafde macht in Europa, slaagden er niet in hun literaire en wetenschappelijke schatten te waarderen; wiskunde werd bijna verwaarloosd; en afgezien van enkele verbeteringen in rekenkundige berekeningen, zijn er geen materiële vorderingen te registreren.

In de chronologische ontwikkeling van ons onderwerp moeten we ons nu tot het Oosten wenden. Onderzoek van de geschriften van Indiase wiskundigen heeft een fundamenteel onderscheid tussen het Grieks en De Indiase geest, de eerste is bij uitstek geometrisch en speculatief, de tweede rekenkundig en vooral praktisch. We zien dat de meetkunde verwaarloosd werd, behalve voor zover ze de astronomie van dienst was; de trigonometrie was gevorderd en de algebra verbeterde veel verder dan de verworvenheden van Diophantus.

Vervolg op pagina drie.

De vroegste Indiase wiskundige van wie we bepaalde kennis hebben, is Aryabhatta, die bloeide rond het begin van de 6e eeuw van onze jaartelling. De bekendheid van deze astronoom en wiskundige berust op zijn werk, de Aryabhattiyam, het derde hoofdstuk is gewijd aan wiskunde. Ganessa, een vooraanstaande astronoom, wiskundige en scholiast van Bhaskara, citeert dit werk en maakt apart melding van de cuttaca ("verpulveraar"), een apparaat voor het bewerkstelligen van de oplossing van onbepaalde vergelijkingen. Henry Thomas Colebrooke, een van de vroegste moderne onderzoekers van de hindoe-wetenschap, gaat ervan uit dat de verhandeling van Aryabhatta breidde zich uit om kwadratische vergelijkingen, onbepaalde vergelijkingen van de eerste graad en waarschijnlijk van de tweede. Een astronomisch werk, het Surya-siddhanta ("kennis van de zon"), van onzeker auteurschap en waarschijnlijk behorend tot de 4e of 5e eeuw, werd overwogen van grote verdiensten door de hindoes, die het slechts op de tweede plaats plaatsten na het werk van Brahmagupta, die ongeveer een eeuw floreerde later. Het is van groot belang voor de historische student, want het vertoont de invloed van de Griekse wetenschap op de Indiase wiskunde in een periode voorafgaand aan Aryabhatta. Na een interval van ongeveer een eeuw, waarin de wiskunde haar hoogste niveau bereikte, bloeide Brahmagupta (b. AD 598), wiens werk getiteld Brahma-sphuta-siddhanta ("Het herziene systeem van Brahma") verschillende hoofdstukken bevat die zijn gewijd aan wiskunde. Van andere Indiase schrijvers kan melding worden gemaakt van Cridhara, de auteur van een Ganita-sara ("Quintessence of Calculation"), en Padmanabha, de auteur van een algebra.

Een periode van wiskundige stagnatie lijkt dan de Indische geest gedurende een interval van in bezit te hebben gehad enkele eeuwen, want de werken van de volgende auteur van elk moment staan maar weinig op voorhand Brahmagupta. We verwijzen naar Bhaskara Acarya, wiens werk de Siddhanta-ciromani ("Diadeem van anastronomisch systeem"), geschreven in 1150, bevat twee belangrijke hoofdstukken, de Lilavati ("de mooi [wetenschap of kunst] ") en Viga-ganita (" wortel-extractie "), die zijn opgegeven voor rekenen en algebra.

Engelse vertalingen van de wiskundige hoofdstukken van de Brahma-siddhanta en Siddhanta-ciromani door H. T. Colebrooke (1817), en van de Surya-siddhanta doei. Burgess, met aantekeningen van W. D. Whitney (1860), kan worden geraadpleegd voor details.

Over de vraag of de Grieken hun algebra van de hindoes hebben geleend of andersom, is veel discussie geweest. Het lijdt geen twijfel dat er constant verkeer was tussen Griekenland en India, en het is meer dan waarschijnlijk dat een uitwisseling van producten gepaard zou gaan met een overdracht van ideeën. Moritz Cantor vermoedt de invloed van diofantijnse methoden, meer in het bijzonder in de hindoes oplossingen van onbepaalde vergelijkingen, waarbij bepaalde technische termen naar alle waarschijnlijkheid Griekse oorsprong. Hoe dit ook zij, het is zeker dat de hindoe-algebraïsten Diophantus ver vooruit waren. De tekortkomingen van de Griekse symboliek werden gedeeltelijk verholpen; aftrekken werd aangegeven door een punt over de subtrahend te plaatsen; vermenigvuldiging, door bha (een afkorting van bhavita, het "product") achter de factom te plaatsen; verdeling, door de deler onder het dividend te plaatsen; en vierkantswortel door ka (een afkorting van karana, irrationeel) vóór de hoeveelheid in te voegen. Het onbekende heette yavattavat, en als er meerdere waren, nam de eerste deze benaming en de andere werden aangeduid met de namen van kleuren; x werd bijvoorbeeld aangeduid met ya en y met ka (uit kalaka, zwart).

Vervolg op pagina vier.

Een opmerkelijke verbetering ten opzichte van de ideeën van Diophantus is te vinden in het feit dat de hindoes het bestaan van twee wortels erkenden van een kwadratische vergelijking, maar de negatieve wortels werden als ontoereikend beschouwd, omdat er geen interpretatie voor kon worden gevonden. Er wordt ook verondersteld dat ze anticipeerden op ontdekkingen van de oplossingen van hogere vergelijkingen. Er werden grote vorderingen gemaakt in de studie van onbepaalde vergelijkingen, een tak van analyse waarin Diophantus uitblonk. Maar terwijl Diophantus gericht was op het verkrijgen van een enkele oplossing, streefden de hindoes naar een algemene methode waarmee elk onbepaald probleem kon worden opgelost. Hierin waren ze volledig succesvol, want ze verkregen algemene oplossingen voor de vergelijkingen ax (+ of -) door = c, xy = ax + door + c (sinds herontdekt door Leonhard Euler) en cy2 = ax2 + b. Een bijzonder geval van de laatste vergelijking, namelijk y2 = ax2 + 1, belastte de middelen van moderne algebraïsten zwaar. Het werd door Pierre de Fermat voorgesteld aan Bernhard Frenicle de Bessy en in 1657 aan alle wiskundigen. John Wallis en Lord Brounker bereikten samen een vervelende oplossing die in 1658 werd gepubliceerd en daarna in 1668 door John Pell in zijn Algebra. Fermat gaf ook een oplossing in zijn relatie. Hoewel Pell niets met de oplossing te maken had, heeft het nageslacht de vergelijking Pell's Equation genoemd, of Probleem, wanneer het meer terecht het Hindoe-probleem zou moeten zijn, als erkenning van de wiskundige verworvenheden van de Brahmans.

Hermann Hankel heeft gewezen op de bereidheid waarmee de hindoes van getal naar omvang overgingen en omgekeerd. Hoewel deze overgang van discontinu naar continu niet echt wetenschappelijk is, heeft het toch de ontwikkeling van de algebra aanzienlijk vergroot, en Hankel bevestigt dat als we definiëren algebra als de toepassing van rekenkundige bewerkingen op zowel rationele als irrationele getallen of magnitudes, dan zijn de brahmanen de echte uitvinders van algebra.

De integratie van de verspreide stammen van Arabië in de 7e eeuw door de roerende religieuzen propaganda van Mahomet ging gepaard met een snelle toename van de intellectuele krachten van een tot nu toe obscure race. De Arabieren werden de bewaarders van de Indiase en Griekse wetenschap, terwijl Europa werd gescheurd door interne onenigheden. Onder het bewind van de Abbasiden werd Bagdad het centrum van wetenschappelijk denken; artsen en astronomen uit India en Syrië stroomden naar hun hof; Griekse en Indiase manuscripten werden vertaald (een werk begonnen door de kalief Mamun (813-833) en bekwaam voortgezet door zijn opvolgers); en in ongeveer een eeuw werden de Arabieren in bezit genomen van de enorme voorraden Grieks en Indisch leren. Euclid's Elements werden voor het eerst vertaald in de regering van Harun-al-Rashid (786-809) en herzien in opdracht van Mamun. Maar deze vertalingen werden als onvolmaakt beschouwd en het bleef aan Tobit ben Korra (836-901) om een bevredigende uitgave te produceren. Ptolemaeus Almagest, de werken van Apollonius, Archimedes, Diophantus en delen van de Brahmasiddhanta werden ook vertaald. De eerste opmerkelijke Arabische wiskundige was Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, die floreerde tijdens het bewind van Mamun. Zijn verhandeling over algebra en rekenen (waarvan het laatste deel alleen bestaat in de vorm van een Latijnse vertaling, ontdekt in 1857) bevat niets dat onbekend was voor de Grieken en Hindoes; het vertoont methoden verbonden aan die van beide rassen, waarbij het Griekse element overheerst. Het gedeelte gewijd aan algebra heeft de titel al-jeur wa'lmuqabala, en het rekenen begint met 'Gesproken heeft Algoritmi', de naam Khwarizmi of Hovarezmi is in het woord overgegaan Algoritmi, dat verder is getransformeerd in de modernere woorden algoritme en algoritme, wat een methode van betekent computergebruik.

Vervolg op pagina vijf.

Tobit ben Korra (836-901), geboren in Harran in Mesopotamië, een ervaren taalkundige, wiskundige en astronoom, heeft door zijn vertalingen van verschillende Griekse auteurs een opvallende dienst bewezen. Zijn onderzoek naar de eigenschappen van minnelijke getallen (zie aldaar) en naar het probleem van het snijden van een hoek is van belang. De Arabieren leken bij de studiekeuze meer op de hindoes dan de Grieken; hun filosofen vermengden speculatieve proefschriften met de meer progressieve studie van de geneeskunde; hun wiskundigen negeerden de subtiliteiten van de kegelsneden en diophantische analyse en pasten zich meer in het bijzonder toe om het systeem van cijfers (zie NUMERAAL), rekenkunde en astronomie (q.v ..) Het kwam er dus op neer dat hoewel er enige vooruitgang werd geboekt in de algebra, de talenten van de race werden geschonken astronomie en trigonometrie (q.v ..) Fahri des al Karbi, die bloeide rond het begin van de 11e eeuw, is de auteur van het belangrijkste Arabische werk over algebra. Hij volgt de methoden van Diophantus; zijn werk aan onbepaalde vergelijkingen lijkt niet op de Indiase methoden en bevat niets dat niet uit Diophantus kan worden afgeleid. Hij loste kwadratische vergelijkingen zowel geometrisch als algebraïsch op, en ook vergelijkingen met de vorm x2n + axn + b = 0; hij bewees ook bepaalde relaties tussen de som van de eerste n natuurlijke getallen en de bedragen van hun vierkanten en kubussen.

Kubische vergelijkingen werden geometrisch opgelost door de snijpunten van kegelsneden te bepalen. Archimedes 'probleem om een bol door een vlak te verdelen in twee segmenten met een voorgeschreven verhouding, was eerst uitgedrukt als een kubische vergelijking door Al Mahani, en de eerste oplossing werd gegeven door Abu Gafar al Hazin. De bepaling van de zijde van een regelmatige zevenhoek die kan worden ingeschreven of omschreven als a bepaalde cirkel werd teruggebracht tot een meer gecompliceerde vergelijking die eerst met succes werd opgelost door Abul Goed. De methode voor het geometrisch oplossen van vergelijkingen werd aanzienlijk ontwikkeld door Omar Khayyam van Khorassan, die in de 11e eeuw floreerde. Deze auteur betwijfelde de mogelijkheid om kubussen op te lossen door pure algebra en biquadratica door geometrie. Zijn eerste bewering werd pas in de 15e eeuw weerlegd, maar zijn tweede werd afgewezen door Abul Weta (940-908), die erin slaagde de vormen x4 = a en x4 + ax3 = b op te lossen.

Hoewel de grondslagen van de geometrische resolutie van kubieke vergelijkingen aan de Grieken moeten worden toegeschreven (want Eutocius wijst aan Menaechmus twee methoden om de vergelijking x3 = a en x3 = 2a3) op te lossen, maar de daaropvolgende ontwikkeling door de Arabieren moet worden beschouwd als een van hun belangrijkste prestaties. De Grieken waren erin geslaagd een geïsoleerd voorbeeld op te lossen; de Arabieren bereikten de algemene oplossing van numerieke vergelijkingen.

Er is veel aandacht besteed aan de verschillende stijlen waarin de Arabische auteurs hun onderwerp hebben behandeld. Moritz Cantor heeft gesuggereerd dat er ooit twee scholen waren, een met sympathie voor de Grieken, de andere met de hindoes; en dat hoewel de geschriften van laatstgenoemde voor het eerst werden bestudeerd, ze snel werden weggegooid voor de meer opvallende Griekse methoden, dus dat onder de latere Arabische schrijvers de Indiase methoden praktisch werden vergeten en hun wiskunde in wezen Grieks werd karakter.

Als we ons tot de Arabieren in het Westen wenden, vinden we dezelfde verlichte geest; Cordova, de hoofdstad van het Moorse rijk in Spanje, was evenzeer een leercentrum als Bagdad. De vroegst bekende Spaanse wiskundige is Al Madshritti (d. 1007), wiens bekendheid berust op een proefschrift over minnelijke aantallen, en op de scholen die zijn opgericht door zijn leerlingen in Cordoya, Dama en Granada. Gabir ben Allah van Sevilla, gewoonlijk Geber genoemd, was een gevierd astronoom en blijkbaar bedreven in algebra, want er wordt verondersteld dat het woord "algebra" is afgeleid van zijn naam.

Toen het Moorse rijk de briljante intellectuele gaven begon af te nemen die ze gedurende drie of vier jaar zo overvloedig hadden gevoed eeuwen werden verzwakt en na die periode slaagden ze er niet in een auteur te produceren die vergelijkbaar was met die van de 7e tot de 11e eeuwen.

Vervolg op pagina zes.