Wat is de Cauchy-verdeling

Een verdeling van een willekeurige variabele is niet belangrijk voor zijn toepassingen, maar voor wat het ons vertelt over onze definities. De Cauchy-verdeling is zo'n voorbeeld, ook wel een pathologisch voorbeeld genoemd. De reden hiervoor is dat hoewel deze verdeling goed gedefinieerd is en verband houdt met een fysisch fenomeen, de verdeling geen gemiddelde of variantie heeft. Deze willekeurige variabele heeft inderdaad geen moment genererende functie.

We definiëren de Cauchy-verdeling door een spinner te beschouwen, zoals het type in een bordspel. Het midden van deze spinner wordt verankerd op de y as op het punt (0, 1). Na het draaien van de spinner, zullen we het lijnsegment van de spinner verlengen tot het de x-as kruist. Dit wordt gedefinieerd als onze willekeurige variabele X.

We laten w de kleinere van de twee hoeken aangeven die de spinner met de maakt y as. We nemen aan dat deze spinner even waarschijnlijk elke hoek als een andere vormt, en dus heeft W een uniforme verdeling die varieert van -π / 2 tot π / 2.

Fundamentele trigonometrie biedt ons een verband tussen onze twee willekeurige variabelen:

X = bruinenW..

De cumulatieve verdelingsfunctie vanXwordt als volgt afgeleid:

H(X) = P(X < X) = P(bruinenW. < X) = P(W. < arctanX)

We gebruiken dan het feit datW. is uniform, en dit geeft ons:

H(X) = 0.5 + (arctanX)/π

Om de kansdichtheidsfunctie te verkrijgen, differentiëren we de cumulatieve dichtheidsfunctie. Het resultaat is h(x) = 1/[π (1 + X²) ]

Wat de Cauchy-distributie interessant maakt, is dat hoewel we het hebben gedefinieerd met behulp van het fysieke systeem van a willekeurige spinner, een willekeurige variabele met een Cauchy-verdeling heeft geen gemiddelde, variantie of moment dat genereert functie. Alle momenten over de oorsprong die worden gebruikt om deze parameters te definiëren, bestaat niet.

We beginnen met het gemiddelde te overwegen. Het gemiddelde wordt gedefinieerd als de verwachte waarde van onze willekeurige variabele en dus E [X] = ∫_-∞^∞X /[π (1 + X²)] dX.

We integreren met behulp van vervanging. Als we gaan zitten u = 1 +X² dan zien we dat du = 2X dX. Na het maken van de vervanging, convergeert de resulterende onjuiste integraal niet. Dit betekent dat de verwachte waarde niet bestaat en dat het gemiddelde niet is gedefinieerd.

Evenzo zijn de variantie en moment genererende functie ongedefinieerd.

De Cauchy-verdeling is genoemd naar de Franse wiskundige Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). Ondanks dat deze distributie naar Cauchy is genoemd, werd informatie over de distributie voor het eerst gepubliceerd door vergif.