Tweedimensionale kinematica: beweging in een vliegtuig

Dit artikel schetst de fundamentele concepten die nodig zijn om de beweging van objecten in twee dimensies te analyseren, zonder rekening te houden met de krachten die de versnelling veroorzaken. Een voorbeeld van dit soort problemen is het gooien van een bal of het beschieten van een kanonskogel. Het veronderstelt een vertrouwdheid met eendimensionale kinematica, omdat het dezelfde concepten uitbreidt naar een tweedimensionale vectorruimte.

Kinematica omvat verplaatsing, snelheid en versnelling die allemaal zijn vector hoeveelheden die zowel een omvang als richting vereisen. Om een ​​probleem in tweedimensionale kinematica te beginnen, moet u daarom eerst de definiëren coördinatie systeem je gebruikt. Over het algemeen zal het zijn in termen van een X-as en een y-as, zo gericht dat de beweging in de positieve richting is, hoewel er in bepaalde omstandigheden niet de beste methode is.

In gevallen waarin de zwaartekracht wordt overwogen, is het gebruikelijk om de richting van de zwaartekracht negatief te maken-

De positievector r is een vector die van de oorsprong van het coördinatensysteem naar een bepaald punt in het systeem gaat. De positieverandering (Δr, uitgesproken als "Delta r") is het verschil tussen het startpunt (r₁) naar eindpunt (r₂). We definiëren de gemiddelde snelheid (v_gem) net zo:

v_gem = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

De limiet nemen als Δt benadert 0, bereiken we de momentane snelheidv. In calculustermen is dit de afgeleide van r rekeninghoudend met t, of dr/dt.

Naarmate het tijdsverschil kleiner wordt, komen het begin- en eindpunt dichter bij elkaar. Aangezien de richting van r is dezelfde richting als v, wordt dat duidelijk de momentane snelheidsvector op elk punt langs het pad raakt aan het pad.

Het nuttige kenmerk van vectorgrootheden is dat ze kunnen worden opgesplitst in hun componentvectoren. De afgeleide van een vector is de som van zijn samenstellende derivaten, daarom:

v_X = dx/dt
v_y = dy/dt

De grootte van de snelheidsvector wordt gegeven door de stelling van Pythagoras in de vorm:

|v| = v = sqrt (v_X² + v_y²)

De richting van v is georiënteerd alpha graden tegen de klok in vanaf de X-component en kan worden berekend met de volgende vergelijking:

bruinen alpha = v_y / v_X

Versnelling is de verandering van snelheid over een bepaalde tijdsperiode. Net als bij de bovenstaande analyse, vinden we dat het Δ isv/Δt. De limiet hiervan als Δt benadert 0 geeft de afgeleide van v rekeninghoudend met t.

In termen van componenten kan de versnellingsvector worden geschreven als:

een_X = dv_X/dt
een_y = dv_y/dt

of

een_X = d²X/dt²
een_y = d²y/dt²

De grootte en hoek (aangegeven als bèta te onderscheiden van alpha) van de netto versnellingsvector worden berekend met componenten op een manier die vergelijkbaar is met die voor snelheid.

Bij tweedimensionale kinematica wordt vaak de relevante vectoren in hun opgedeeld X- en y-componenten en vervolgens elk van de componenten analyseren alsof het eendimensionale gevallen zijn. Zodra deze analyse is voltooid, worden de componenten van snelheid en / of versnelling weer samen gecombineerd om de resulterende tweedimensionale snelheids- en / of versnellingsvectoren te verkrijgen.

De bovenstaande vergelijkingen kunnen allemaal worden uitgebreid voor beweging in drie dimensies door a toe te voegen z-component van de analyse. Dit is over het algemeen vrij intuïtief, hoewel er enige zorg voor moet worden gezorgd dat dit in het juiste formaat gebeurt, vooral met betrekking tot het berekenen van de oriëntatiehoek van de vector.

Bewerkt door Anne Marie Helmenstine, Ph.D.