Een natuurlijke vraag over een kansverdeling is: 'Wat is het middelpunt?' De verwachte waarde is zo'n meting van het midden van een kansverdeling. Aangezien het het gemiddelde meet, mag het geen verrassing zijn dat deze formule is afgeleid van die van het gemiddelde.
Om een startpunt vast te stellen, moeten we de vraag beantwoorden: "Wat is de verwachte waarde?" Stel dat we een willekeurige variabele hebben die is gekoppeld aan een waarschijnlijkheidsexperiment. Laten we zeggen dat we dit experiment keer op keer herhalen. Op de lange duur van verschillende herhalingen van hetzelfde waarschijnlijkheidsexperiment, als we al onze waarden van de willekeurige variabele, zouden we de verwachte waarde verkrijgen.
In wat volgt zullen we zien hoe we de formule kunnen gebruiken voor de verwachte waarde. We zullen zowel de discrete als continue instellingen bekijken en de overeenkomsten en verschillen in de formules zien.
De formule voor een discrete willekeurige variabele
We beginnen met het analyseren van de discrete casus. Gegeven een discrete willekeurige variabele
X, stel dat het waarden heeft X1, X2, X3,... Xn, en respectieve kansen van p1, p2, p3,... pn. Dit wil zeggen dat de waarschijnlijkheidsmassafunctie voor deze willekeurige variabele geeft f(Xik) = pik.De verwachte waarde van X wordt gegeven door de formule:
E (X) = X1p1 + X2p2 + X3p3 +... + Xnpn.
Door de waarschijnlijkheidsmassa-functie en sommatie-notatie te gebruiken, kunnen we deze formule als volgt compacter schrijven, waarbij de sommatie over de index wordt genomen ik:
E (X) = Σ Xikf(Xik).
Deze versie van de formule is handig om te zien omdat het ook werkt als we een oneindige voorbeeldruimte hebben. Deze formule kan ook gemakkelijk worden aangepast voor de doorlopende case.
Een voorbeeld
Gooi drie keer een munt op en laat X het aantal hoofden zijn. De willekeurige variabele X is discreet en eindig. De enige mogelijke waarden die we kunnen hebben zijn 0, 1, 2 en 3. Dit heeft een kansverdeling van 1/8 voor X = 0, 3/8 voor X = 1, 3/8 voor X = 2, 1/8 voor X = 3. Gebruik de formule met de verwachte waarde om te verkrijgen:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
In dit voorbeeld zien we dat we op de lange termijn gemiddeld 1,5 koppen van dit experiment zullen halen. Dit is logisch met onze intuïtie, aangezien de helft van de 3 1,5 is.
De formule voor een continue willekeurige variabele
We gaan nu over op een continue willekeurige variabele, die we zullen aanduiden X. We laten de kansdichtheidsfunctie van X gegeven door de functie f(X).
De verwachte waarde van X wordt gegeven door de formule:
E (X) = ∫ x f(X) dX.
Hier zien we dat de verwachte waarde van onze willekeurige variabele wordt uitgedrukt als een integraal.
Toepassingen met verwachte waarde
Er zijn veel aanvragen voor de verwachte waarde van een willekeurige variabele. Deze formule maakt een interessante verschijning in de St. Petersburg Paradox.