Oplossingen voor uitdagende telproblemen

Tellen kan een gemakkelijke taak lijken. Als we dieper ingaan op het gebied van wiskunde bekend als combinatoriek, beseffen we dat we een aantal grote aantallen tegenkomen. Sinds de faculteit verschijnt zo vaak en een nummer als 10! is groter dan drie miljoen, telproblemen kunnen heel snel ingewikkeld worden als we proberen alle mogelijkheden op te sommen.

Soms, wanneer we alle mogelijkheden overwegen die onze telproblemen kunnen aannemen, is het gemakkelijker om de onderliggende principes van het probleem te overdenken. Deze strategie kan veel minder tijd in beslag nemen dan het proberen van brute kracht om een ​​aantal op te sommen combinaties of permutaties.

De vraag "Op hoeveel manieren kan iets worden gedaan?" is een andere vraag dan "Wat zijn de manieren?" dat er iets kan worden gedaan? "We zullen dit idee aan het werk zien in de volgende reeks uitdagend tellen problemen.

De volgende reeks vragen heeft betrekking op het woord DRIEHOEK. Merk op dat er in totaal acht letters zijn. Laat het duidelijk zijn dat de

1. Op hoeveel manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt?
   Oplossing: Hier zijn er in totaal acht keuzes voor de eerste letter, zeven voor de tweede, zes voor de derde, enzovoort. Door het vermenigvuldigingsprincipe vermenigvuldigen we voor een totaal van 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 verschillende manieren.
2. Op hoeveel manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN moeten zijn (in die exacte volgorde)?
   Oplossing: De eerste drie letters zijn voor ons gekozen, waardoor we vijf letters overhouden. Na RAN hebben we vijf keuzes voor de volgende letter, gevolgd door vier, dan drie, dan twee dan één. Volgens het vermenigvuldigingsprincipe zijn er 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 manieren om de letters op een specifieke manier te ordenen.
3. Op hoeveel manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN moeten zijn (in willekeurige volgorde)?
   Oplossing: Beschouw dit als twee onafhankelijke taken: de eerste rangschikking van de letters RAN en de tweede rangschikking van de andere vijf letters. Er zijn er 3! = 6 manieren om RAN te regelen en 5! Manieren om de andere vijf letters te ordenen. Er zijn er dus in totaal 3! x 5! = 720 manieren om de letters van DRIEHOEK te rangschikken zoals gespecificeerd.
4. Op hoeveel manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN moeten zijn (in willekeurige volgorde) en de laatste letter een klinker moet zijn?
   Oplossing: Beschouw dit als drie taken: de eerste rangschikking van de letters RAN, de tweede die één klinker kiest uit I en E, en de derde die de andere vier letters rangschikt. Er zijn er 3! = 6 manieren om RAN te ordenen, 2 manieren om een ​​klinker te kiezen uit de resterende letters en 4! Manieren om de andere vier letters te ordenen. Er zijn er dus in totaal 3! X 2 x 4! = 288 manieren om de letters van DRIEHOEK te rangschikken zoals gespecificeerd.
5. Op hoeveel manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de eerste drie letters RAN (in willekeurige volgorde) en de volgende drie letters TRI (in willekeurige volgorde) moeten zijn?
   Oplossing: Ook hier hebben we drie taken: de eerste rangschikking van de letters RAN, de tweede rangschikking van de letters TRI en de derde de andere twee letters. Er zijn er 3! = 6 manieren om RAN te regelen, 3! manieren om TRI te regelen en twee manieren om de andere letters te ordenen. Er zijn er dus in totaal 3! x 3! X 2 = 72 manieren om de letters van DRIEHOEK te rangschikken zoals aangegeven.
6. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de volgorde en de plaatsing van de klinkers IAE niet kunnen worden gewijzigd?
   Oplossing: De drie klinkers moeten in dezelfde volgorde worden bewaard. Er zijn nu in totaal vijf medeklinkers te regelen. Dit kan in 5! = 120 manieren.
7. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de volgorde van de klinkers IAE niet kan kan worden gewijzigd, hoewel hun plaatsing kan (IAETRNGL en TRIANGEL zijn acceptabel, maar EIATRNGL en TRIENGLA zijn niet)?
   Oplossing: Dit kunt u het beste in twee stappen doen. Stap één is om de plaatsen te kiezen waar de klinkers naartoe gaan. Hier kiezen we drie van de acht plaatsen en de volgorde waarin we dit doen is niet belangrijk. Dit is een combinatie en er zijn er in totaal C(8,3) = 56 manieren om deze stap uit te voeren. De overige vijf letters kunnen in 5 worden gerangschikt! = 120 manieren. Dit geeft een totaal van 56 x 120 = 6720 arrangementen.
8. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de volgorde van de klinkers IAE kan worden gewijzigd, hoewel hun plaatsing dat misschien niet is?
   Oplossing: Dit is eigenlijk hetzelfde als # 4 hierboven, maar met verschillende letters. We rangschikken drie letters in 3! = 6 manieren en de andere vijf letters in 5! = 120 manieren. Het totale aantal manieren voor dit arrangement is 6 x 120 = 720.
9. Op hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt?
   Oplossing: Aangezien we het hebben over een arrangement, is dit een permutatie en er zijn er in totaal P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 manieren.
10. Op hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als er een gelijk aantal klinkers en medeklinkers moet zijn?
    Oplossing: Er is maar één manier om de klinkers te selecteren die we gaan plaatsen. Het kiezen van de medeklinkers kan in C(5, 3) = 10 manieren. Er zijn er dan 6! manieren om de zes letters te ordenen. Vermenigvuldig deze cijfers met elkaar voor het resultaat van 7200.
11. Op hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als er ten minste één medeklinker moet zijn?
    Oplossing: Elk arrangement van zes letters voldoet aan de voorwaarden, dus die zijn er P(8, 6) = 20.160 manieren.
12. Op hoeveel verschillende manieren kunnen zes letters van het woord DRIEHOEK worden gerangschikt als de klinkers moeten worden afgewisseld met medeklinkers?
    Oplossing: Er zijn twee mogelijkheden, de eerste letter is een klinker of de eerste letter is een medeklinker. Als de eerste letter een klinker is, hebben we drie keuzes, gevolgd door vijf voor een medeklinker, twee voor een tweede klinker, vier voor een tweede medeklinker, één voor de laatste klinker en drie voor de laatste medeklinker. We vermenigvuldigen dit om 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360 te verkrijgen. Door symmetrieargumenten zijn er hetzelfde aantal arrangementen dat begint met een medeklinker. Dit geeft een totaal van 720 arrangementen.
13. Hoeveel verschillende sets van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord DRIEHOEK?
    Oplossing: Aangezien we het hebben over een ingesteld van vier letters uit een totaal van acht, is de volgorde niet belangrijk. We moeten de combinatie berekenen C(8, 4) = 70.
14. Hoeveel verschillende sets van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord DRIEHOEK dat twee klinkers en twee medeklinkers heeft?
    Oplossing: Hier vormen we onze set in twee stappen. Er zijn C(3, 2) = 3 manieren om uit in totaal 3 klinkers te kiezen. Er zijn C(5, 2) = 10 manieren om medeklinkers te kiezen uit de vijf beschikbare. Dit geeft een totaal van 3x10 = 30 sets mogelijk.
15. Hoeveel verschillende sets van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord DRIEHOEK als we ten minste één klinker willen?
    Oplossing: Dit kan als volgt worden berekend:

• Het aantal sets van vier met één klinker is C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Het aantal sets van vier met twee klinkers is C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Het aantal sets van vier met drie klinkers is C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Dit levert in totaal 65 verschillende sets op. Als alternatief zouden we kunnen berekenen dat er 70 manieren zijn om een ​​set van vier willekeurige letters te vormen en de C(5, 4) = 5 manieren om een ​​set zonder klinkers te verkrijgen.