Waarschijnlijkheid van een kleine straat in Yahtzee in één rol

Yahtzee is een dobbelspel dat gebruik maakt van vijf standaard zeszijdige dobbelstenen. Bij elke beurt worden spelers gegeven drie rollen om verschillende doelen te bereiken. Na elke worp mag een speler beslissen welke van de dobbelstenen (indien van toepassing) moet worden behouden en welke opnieuw moeten worden gegooid. De doelstellingen omvatten een verscheidenheid aan verschillende soorten combinaties, waarvan er vele afkomstig zijn van poker. Elke combinatie is een ander aantal punten waard.

Twee van de soorten combinaties die spelers moeten gooien, worden genoemd rechte stukken: een kleine rechte en een grote rechte. Net als poker straights bestaan ​​deze combinaties uit opeenvolgende dobbelstenen. Kleine rechte stukken gebruiken vier van de vijf dobbelstenen en grote rechte stukken gebruik alle vijf de dobbelstenen. Vanwege de willekeur van het gooien van dobbelstenen, kan de waarschijnlijkheid worden gebruikt om te analyseren hoe waarschijnlijk het is dat een kleine straat in een enkele rol wordt gerold.

We gaan ervan uit dat de gebruikte dobbelstenen eerlijk en onafhankelijk van elkaar zijn. Er is dus een uniforme monsterruimte die bestaat uit alle mogelijke rollen van de vijf dobbelstenen. Hoewel Yahtzee staat drie rollen toe, voor de eenvoud zullen we alleen het geval beschouwen dat we een kleine rechte in een enkele rol krijgen.

Aangezien we werken met een uniformvoorbeeldruimtewordt de berekening van onze waarschijnlijkheid een berekening van een aantal telproblemen. De kans op een kleine straat is het aantal manieren om een ​​kleine straat te rollen, gedeeld door het aantal uitkomsten in de steekproefruimte.

Het aantal uitkomsten in de steekproefruimte is heel eenvoudig te tellen. We gooien vijf dobbelstenen en elk van deze dobbelstenen kan een van de zes verschillende uitkomsten hebben. Een basistoepassing van het vermenigvuldigingsprincipe vertelt ons dat de monsterruimte 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 heeft⁵ = 7776 resultaten. Dit getal is de noemer van de breuken die we gebruiken voor onze waarschijnlijkheid.

Vervolgens moeten we weten hoeveel manieren er zijn om een ​​kleine straat te rollen. Dit is moeilijker dan het berekenen van de grootte van de monsterruimte. We beginnen met tellen hoeveel rechte stukken mogelijk zijn.

Een kleine rechte is gemakkelijker te rollen dan een grote rechte, maar het is moeilijker om het aantal manieren te tellen waarop dit type rechte rolt. Een kleine rechte bestaat uit precies vier opeenvolgende nummers. Omdat er zes verschillende gezichten van de dobbelsteen zijn, zijn er drie mogelijke kleine rechte stukken: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} en {3, 4, 5, 6}. De moeilijkheid ontstaat wanneer je bedenkt wat er gebeurt met de vijfde dobbelsteen. In elk van deze gevallen moet de vijfde dobbelsteen een getal zijn dat geen grote straat oplevert. Als de eerste vier dobbelstenen bijvoorbeeld 1, 2, 3 en 4 waren, zou de vijfde dobbelsteen iets anders dan 5 kunnen zijn. Als de vijfde dobbelsteen een 5 was, dan zouden we een grote straat hebben in plaats van een kleine straat.

Dit betekent dat er vijf mogelijke rollen zijn die de kleine rechte {1, 2, 3, 4}, vijf mogelijk maken rollen die de kleine rechte {3, 4, 5, 6} geven en vier mogelijke rollen die de kleine rechte {2, 3 geven, 4, 5}. Dit laatste geval is anders omdat het gooien van een 1 of een 6 voor de vijfde dobbelsteen {2, 3, 4, 5} verandert in een grote straat. Dit betekent dat er 14 verschillende manieren zijn waarop vijf dobbelstenen ons een kleine straat kunnen geven.

Nu bepalen we het verschillende aantal manieren om een ​​bepaalde set dobbelstenen te werpen die ons een straat geven. Omdat we alleen hoeven te weten hoeveel manieren er zijn om dit te doen, kunnen we enkele basistechnieken gebruiken.

Van de 14 verschillende manieren om kleine rechte stukken te verkrijgen, zijn er slechts twee van deze {1,2,3,4,6} en {1,3,4,5,6} sets met verschillende elementen. Er zijn er 5! = 120 manieren om elk te rollen voor een totaal van 2 x 5! = 240 kleine rechte stukken.

De andere 12 manieren om een ​​kleine straat te hebben, zijn technisch multisets omdat ze allemaal een herhaald element bevatten. Voor een bepaalde multiset, zoals [1,1,2,3,4], tellen we het aantal verschillende manieren om dit te rollen. Beschouw de dobbelstenen als vijf opeenvolgende posities:

• Er zijn C (5,2) = 10 manieren om de twee herhaalde elementen tussen de vijf dobbelstenen te plaatsen.
• Er zijn er 3! = 6 manieren om de drie verschillende elementen te ordenen.

Volgens het vermenigvuldigingsprincipe zijn er 6 x 10 = 60 verschillende manieren om de dobbelstenen 1,1,2,3,4 in een enkele worp te werpen.

Er zijn 60 manieren om zo'n kleine straat te rollen met deze specifieke vijfde dobbelsteen. Aangezien er 12 multisets zijn die een andere lijst van vijf dobbelstenen geven, zijn er 60 x 12 = 720 manieren om een ​​kleine straat te gooien waarin twee dobbelstenen overeenkomen.

In totaal zijn er 2 x 5! + 12 x 60 = 960 manieren om een ​​kleine rechte te rollen.

Nu is de kans om een ​​kleine straat te rollen een eenvoudige delingberekening. Aangezien er 960 verschillende manieren zijn om een ​​kleine rechte in een enkele rol te rollen, zijn er 7776 rollen vijf dobbelstenen mogelijk, de kans om een ​​kleine straat te rollen is 960/7776, wat dicht bij 1/8 ligt en 12.3%.

Natuurlijk is het waarschijnlijker dat de eerste rol geen straight is. Als dit het geval is, mogen we nog twee rollen maken, waardoor een kleine rechte veel waarschijnlijker is. De waarschijnlijkheid hiervan is veel gecompliceerder om te bepalen vanwege alle mogelijke situaties die in overweging moeten worden genomen.