Kanspuzzels: kansen op een flush in poker

Er zijn veel verschillende handen met naam bij poker. Een die gemakkelijk uit te leggen is, wordt een flush genoemd. Dit type hand bestaat uit elke kaart met dezelfde reeks.

Sommige technieken van combinatoriek, of de studie van tellen, kunnen worden toegepast om de waarschijnlijkheid te berekenen om bepaalde soorten handen in poker te trekken. De kans om een ​​flush te krijgen is relatief eenvoudig te vinden, maar is ingewikkelder dan het berekenen van de kans op een royal flush.

Voor de eenvoud gaan we ervan uit dat vijf kaarten worden gedeeld vanaf een standaard 52 kaartspelzonder vervanging. Er zijn geen kaarten wild en de speler behoudt alle kaarten die aan hem of haar zijn gedeeld.

We maken ons geen zorgen over de volgorde waarin deze kaarten worden getrokken, dus elke hand is een combinatie van vijf kaarten uit een pak van 52 kaarten. Er zijn een totaal aantal C(52, 5) = 2.598.960 mogelijke afzonderlijke handen. Deze set handen vormt de onze voorbeeldruimte.

We beginnen met het vinden van de kans op een straight flush. Een straight flush is een hand met alle vijf kaarten in volgorde, die allemaal van dezelfde soort zijn. Om de kans op een straight flush correct te berekenen, zijn er een paar bepalingen die we moeten maken.

We tellen een royal flush niet als een straight flush. Dus de hoogste straight flush bestaat uit een negen, tien, boer, vrouw en heer van dezelfde soort. Aangezien een aas een lage of hoge kaart kan tellen, is de straight flush met de laagste rang een aas, twee, drie, vier en vijf van dezelfde soort. Straights kunnen niet door de aas lopen, dus koningin, koning, aas, twee en drie tellen niet als een straat.

Deze voorwaarden betekenen dat er negen straight flushes zijn van een bepaalde kleur. Aangezien er vier verschillende kleuren zijn, is dit 4 x 9 = 36 totale straight flushes. Daarom is de kans op een straight flush 36 / 2.598.960 = 0,0014%. Dit komt ongeveer overeen met 1/72193. Dus op de lange termijn verwachten we deze hand één keer op elke 72.193 handen te zien.

Een flush bestaat uit vijf kaarten die allemaal van dezelfde soort zijn. We moeten niet vergeten dat er vier kleuren zijn met elk een totaal van 13 kaarten. Een flush is dus een combinatie van vijf kaarten van in totaal 13 dezelfde kleur. Dit wordt gedaan in C(13, 5) = 1287 manieren. Omdat er vier verschillende kleuren zijn, zijn er in totaal 4 x 1287 = 5148 flushes mogelijk.

Sommige van deze flushes zijn al geteld als handen met een hogere rang. We moeten het aantal straight flushes en royal flushes aftrekken van 5148 om flushes te krijgen die niet van een hogere rang zijn. Er zijn 36 straight flushes en 4 royal flushes. We moeten ervoor zorgen dat we deze handen niet dubbel tellen. Dit betekent dat er 5148 - 40 = 5108 flushes zijn die niet van een hogere rang zijn.

We kunnen nu de kans op een flush berekenen als 5108 / 2.598.960 = 0,1965%. Deze kans is ongeveer 1/509. Dus op de lange termijn is één op de 509 handen een flush.

We kunnen hierboven zien dat de rangschikking van elke hand overeenkomt met de waarschijnlijkheid. Hoe waarschijnlijker een hand is, des te lager is deze in rangorde. Hoe onwaarschijnlijker een hand is, hoe hoger de ranking.