Als je iemand zou vragen zijn of haar favoriete wiskundige constante te noemen, zou je waarschijnlijk een vragende blik krijgen. Na een tijdje kan iemand zich vrijwillig melden dat de beste constante is pi. Maar dit is niet de enige belangrijke wiskundige constante. Een goede tweede, zo niet kanshebber voor de kroon van de meest alomtegenwoordige constante is e. Dit getal verschijnt in calculus, getaltheorie, waarschijnlijkheid en statistieken. We zullen enkele van de kenmerken van dit opmerkelijke aantal onderzoeken en zien welke verbanden het heeft met statistieken en waarschijnlijkheid.
Waarde van e
Zoals pi, e is irrationeel echt nummer. Dit betekent dat het niet als een breuk kan worden geschreven en dat de decimale uitbreiding ervan voor altijd doorgaat zonder een herhalend nummerblok dat voortdurend wordt herhaald. Het nummer e is ook transcendentaal, wat betekent dat het niet de wortel is van een niet-nul polynoom met rationele coëfficiënten. De eerste vijftig decimalen worden gegeven door e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definitie van e
Het nummer e werd ontdekt door mensen die nieuwsgierig waren naar samengestelde rente. Bij deze vorm van rente verdient de hoofdsom rente en vervolgens verdient de gegenereerde rente rente op zichzelf. Er werd waargenomen dat hoe groter de frequentie van samengestelde perioden per jaar, hoe hoger de gegenereerde rente. We kunnen bijvoorbeeld kijken naar de samengestelde rente:
- Jaarlijks of eens per jaar
- Halfjaarlijks of tweemaal per jaar
- Maandelijks of 12 keer per jaar
- Dagelijks of 365 keer per jaar
Het totale bedrag aan rente stijgt voor elk van deze gevallen.
Er rees de vraag hoeveel geld er eventueel aan rente kon worden verdiend. Om te proberen nog meer geld te verdienen, zouden we in theorie het aantal samengestelde perioden kunnen verhogen tot een zo hoog aantal als we wilden. Het eindresultaat van deze stijging is dat we zouden overwegen om de rente continu te verhogen.
Terwijl de gegenereerde rente toeneemt, gaat dat heel langzaam. Het totale geldbedrag op de rekening stabiliseert feitelijk en de waarde waartoe dit zich stabiliseert is e. Om dit uit te drukken met behulp van een wiskundige formule, zeggen we dat de limiet als n verhogingen van (1 + 1 /n)n = e.
Gebruik van e
Het nummer e verschijnt in de hele wiskunde. Hier zijn een paar van de plaatsen waar het verschijnt:
- Het is de basis van de natuurlijke logaritme. Sinds Napier logaritmen heeft uitgevonden, e wordt ook wel de constante van Napier genoemd.
- In calculus, de exponentiële functie eX heeft de unieke eigenschap dat het zijn eigen afgeleide is.
- Uitdrukkingen eX en e-X combineren om de hyperbolische sinus- en hyperbolische cosinusfuncties te vormen.
- Dankzij het werk van Euler weten we dat de fundamentele constanten van de wiskunde met elkaar verband houden door de formule eik + 1 = 0, waar ik is het imaginaire getal dat de vierkantswortel is van negatief.
- Het nummer e verschijnt in verschillende formules in de wiskunde, vooral op het gebied van de getaltheorie.
De waarde e in Statistieken
Het belang van het nummer e is niet beperkt tot slechts een paar wiskundige gebieden. Er zijn ook verschillende toepassingen van het nummer e in statistieken en waarschijnlijkheid. Een paar hiervan zijn als volgt:
- Het nummer e verschijnt in de formule voor de gammafunctie.
- De formules voor de standaard normale verdeling omvat e tot een negatieve macht. Deze formule bevat ook pi.
- Bij veel andere distributies wordt het nummer gebruikt e. De formules voor de t-verdeling, gamma-verdeling en chi-kwadraatverdeling bevatten bijvoorbeeld allemaal het nummer e.